哲學(xué)難題在數(shù)學(xué)中無處不在，從數(shù)學(xué)本體論的基本問題數(shù)是什么？無窮是什么？到關(guān)于真、證明和意義之間關(guān)系的問題。幾何論證中的圖形扮演什么角色？存在我們無法構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象嗎？每個數(shù)學(xué)問題原則上都可以通過計算來解決嗎？數(shù)學(xué)中的每條真理都有原因嗎？每條數(shù)學(xué)真理都可以被證明嗎？
這本書是對數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個導(dǎo)論，我們將考慮所有這些以及更多其他問題。我從數(shù)學(xué)來到這一學(xué)科，并在這本書中努力尋求一種新的方法來理解數(shù)學(xué)哲學(xué)一種以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)實踐為動機的方法。我努力將哲學(xué)問題視為在數(shù)學(xué)中自然產(chǎn)生的問題。因此，我按照數(shù)學(xué)主題，如數(shù)、無窮、幾何和可計算性，組織這本書，并將一些數(shù)學(xué)論證和初等證明也納入書中，只要它們有助于澄清相關(guān)哲學(xué)問題。
柏拉圖主義、實在論、邏輯主義、結(jié)構(gòu)主義、形式主義、直覺主義、類型論主義以及其他一些哲學(xué)立場，自然地出現(xiàn)于各種各樣的數(shù)學(xué)語境中。例如，從古代畢達哥拉斯學(xué)派的不可公度性和 2 的無理性，到劉維爾（Joseph Liouville）對超越數(shù)的構(gòu)造，再到幾何學(xué)中不可構(gòu)造數(shù)的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的這種進展讓我們有機會對比柏拉圖主義與結(jié)構(gòu)主義以及其他關(guān)于數(shù)和數(shù)學(xué)對象是什么的不同說明。結(jié)構(gòu)主義起源于戴德金的算術(shù)范疇性定理，并從對實數(shù)和其他我們熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)于數(shù)和數(shù)學(xué)對象是什么的不同說明。結(jié)構(gòu)主義起源于戴德金的算術(shù)范疇性定理，并從對實數(shù)和其他我們熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的范疇性解釋中汲取力量。微積分中嚴(yán)格性的提升，構(gòu)成了一個天然的背景，在其中可以討論數(shù)學(xué)在科學(xué)中的不可或缺性是否為數(shù)學(xué)真提供了依據(jù)。關(guān)于運動的芝諾悖論和關(guān)于無窮的伽利略悖論導(dǎo)致了康托-休謨原則，然后導(dǎo)致了弗雷格的數(shù)概念和康托關(guān)于超窮的工作。這樣，數(shù)學(xué)主題跨越數(shù)千年，一次又一次地引發(fā)哲學(xué)思考。
因此，我的目的是呈現(xiàn)一種以數(shù)學(xué)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)哲學(xué)。多年前，佩內(nèi)洛普 · 麥蒂（Penelope Maddy, 1991）批評當(dāng)時數(shù)學(xué)哲學(xué)的某些部分不過是形而上學(xué)家之間的一場內(nèi)部爭吵，而且爭吵的重點如果有的話究竟是什么，并不清楚。（p.158）

她試圖將數(shù)學(xué)哲學(xué)重新聚焦于更接近數(shù)學(xué)的哲學(xué)問題：

我推薦的是一種親自動手的數(shù)學(xué)哲學(xué)，一種切中現(xiàn)實實踐的哲學(xué)，一種善解數(shù)學(xué)家自身的問題、程序和關(guān)切的哲學(xué)。（p.159）

我覺得這很鼓舞人心，我在這本書中的目標(biāo)之一，就是遵循這些建議呈現(xiàn)一本數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都會感到切題的數(shù)學(xué)哲學(xué)導(dǎo)論。無論你是否同意麥蒂的嚴(yán)厲批評，數(shù)學(xué)哲學(xué)中確實存在很多有魅力的問題，我希望在本書中與你分享。我希望你會喜歡它們。
我在這本書中的另一個目標(biāo)是，在一些對數(shù)學(xué)哲學(xué)至關(guān)重要的數(shù)學(xué)議題上，如數(shù)論基礎(chǔ)、非歐幾何、非標(biāo)準(zhǔn)分析、哥德爾不完全性定理和不可數(shù)性等，幫助讀者提高一點數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讀者當(dāng)然是從各種不同的數(shù)學(xué)背景進入這個主題，從初學(xué)者到專家，因此我盡量提供一些對每個人都有用的內(nèi)容，總是由淺入深。例如，希爾伯特旅館的寓言對于討論康托關(guān)于可數(shù)和不可數(shù)無窮的結(jié)果，是一個易于理解的入門，而這一討論最終通向大基數(shù)的主題。我在幾個數(shù)學(xué)主題上設(shè)定了較高的目標(biāo)，但也努力以輕松的方式處理它們，避免陷入復(fù)雜細節(jié)的泥潭。
本書內(nèi)容曾作為我 2018 年、2019 年和 2020 年在牛津大學(xué)米迦勒學(xué)期所做數(shù)學(xué)哲學(xué)系列講座的講稿使用。我要感謝牛津數(shù)學(xué)哲學(xué)圈朋友們的廣泛討論，幫助我改進了本書。特別感謝丹尼爾 · 艾薩克森（Daniel Isaacson）、亞歷克斯 · 帕索（Alex Paseau）、博 · 蒙特（Beau Mount）、蒂莫西 · 威廉姆森（Timothy Williamson）、沃克 · 哈爾巴赫（Volker Halbach），尤其是羅賓 · 索爾伯格（Robin Solberg），他對早期書稿提出了詳細的意見。還要感謝紐約哥倫比亞大學(xué)的賈斯汀 · 克拉克-多恩（Justin ClarkeDoane）提出的意見，以及特蕾莎 · 卡卡爾迪（Theresa Carcaldi）在編輯方面的大量幫助。
這本書使用 LATEX 排版。除了第141頁的圖片屬于公共領(lǐng)域外，我使用 LATEX 中的 TikZ 制作了書中所有其他圖片，專為本書創(chuàng)作，有幾張也用于我的另一本書《證明與數(shù)學(xué)的藝術(shù)》（Proof and the Art of Mathematics）（Hamkins，2020），該書由麻省理工學(xué)院出版社（MIT Press）出版。