前 言 FOREWORD 本書作者旨在編撰一部抽象代數的講義. 國內外已有不少同類著作, 名家編 著也不少, 諸如李文威著的《代數學方法》, 塞爾日·蘭 (Serge Lang) 的《代數》, 內容涉及廣泛, 對于優(yōu)秀的學生來說, 是很好的選擇, 但對于一般院校的學生而言, 難度頗高. 為了使一般的學生學起來容易上手并且對教師而言易于講授, 我們甄 選了相關素材來編寫本書. 本書的編寫按歷史的脈絡, 循序漸進地展開, 難免也會 摻入一些主觀見解, 雖無新增知識內容, 但對于學習者閱讀來說有趣, 受啟發(fā), 也 就有些許意義. 本書的編寫力求生動有趣、開放包容、還原歷史、跟進前沿. 群的概念對于 初學者而言, 頗為抽象，但其實有比較好的引入示例魔方. 魔方不僅是一款益 智玩具，同時還蘊含很多群的知識. 另外，一些比較重要和有趣的群我們也會簡 單提及. 例如，魔群，是階數最大的散在單群，它和模形式中的 j-不變量有深刻 的聯(lián)系；模群, 是和模形式相關的群; 橢圓曲線是兼有理論和實際應用的群，理 論方面比如像 BSD(Birch and Swinnerton) 猜想, 是仍在進展的前沿問題, 應用方 面則有橢圓曲線的離散對數加密算法. 另外，橢圓曲線也和模形式有神奇的聯(lián)系, 就是所謂的 Shimura-Taniyama-Weil 猜想，也已經完全證實. 群是描述對稱的工 具，故而我們單列一節(jié)簡單介紹對稱這個主題. 對稱在生活、建筑、繪畫乃至音樂 領域均有體現, 例如莫扎特有一首很有趣的回文曲，即從正反兩個方向演奏都是 一首很優(yōu)美的曲子. 對于重要概念的產生，我們在腳注中加以簡單介紹，以窺歷 史原貌. 群產生于方程的求根問題. 對于五次以上一般代數方程沒有根式解，著 名數學家阿諾德 (Arnold) 曾給出一個高中生即可理解的簡單證明，我們也在腳 注里提及出處, 供感興趣的讀者探究. 抽象本身是一種哲學方法. 對一些具有共性的具體實例的本質要點加以提煉 概括, 所得理論具有更加廣泛的適用性. 自然, 讀者理解起來有時不免云里霧里, 所以還是要透過具體實例來理解, 方能體會其中含義. 例子本也無須多而奇, 能展 示理論本身的要點最好. 抽象代數也并未如其名那般抽象, 本書講授的是群、環(huán)、 域的基本概念. 經典的概念具有強大的生命力, 它們從歷史中沉淀而來, 恰如文學 名著. 當下科技突飛猛進, 文獻資料浩如煙海, 然而終歸沙多金少, 留下的方才熠 j 抽象代數初步 熠生輝. 數學在某種程度上類似藝術, 不同人的品位自然不同. 數學的專業(yè)學習既需 要嚴格的訓練, 也需要廣泛的交流, 譬如讀沙法列維奇 (I. R. Shafarevich) 的《代 數基本概念》便會有種交流的感覺. 多閱讀名家的作品總歸是好的, 開卷有益. 本書借鑒了李文威、羅特曼 (J. Rotman)、阿廷 (M. Artin)、蘭 (S. Lang) 等 人的著作, 在此致謝. 另外, 本書的出版得到了臨沂大學數學與統(tǒng)計學院以及機械 工業(yè)出版社的支持, 在此一并表示感謝. 有些小節(jié)加了星號，可根據課時的多少適 當選擇講授. 限于編者才學，不當之處望讀者朋友指正. 孫超超 田運波 李 娟 2024 年夏 于臨沂大學