目 錄
英文版原序摘譯
第1章 引論 1
1.1 關(guān)于各種解的一般知識(shí) 2
1.1.1 例 2
1.1.2 已給函數(shù)族的微分方程 6
1.2 微分方程組 9
1.2.1 微分方程組和單個(gè)的微分方程等價(jià)的問(wèn)題 9
1.2.2 常系數(shù)線性方程組的消去法 11
1.2.3 適定的、超定的、欠定的方程組 12
1.3 特殊微分方程的求積法 14
1.3.1 分離變量法 14
1.3.2 用疊加法構(gòu)造更多的解傳熱方程的基本解.Poisson 積分 16
1.4 兩個(gè)自變量的一階偏微分方程的幾何解釋完全積分 17
1.4.1 一階偏微分方程的幾何解釋 17
1.4.2 完全積分 18
1.4.3 奇異積分 20
1.4.4 例 21
1.5 一階線性和擬線性微分方程的理論 22
1.5.1 線性微分方程 22
1.5.2 擬線性微分方程 24
1.6 Legendre變換 25
1.6.1 對(duì)于二元畫數(shù)的Legendre變換 25
1.6.2 對(duì)于n元函數(shù)的Legendre變換 27
1.6.3 Legendre變換在偏微分方程上的應(yīng)用 28
1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理 31
1.7.1 引言和例 31
1.7.2 化為擬線性微分方程組 34
1.7.3 初始流形上的導(dǎo)數(shù)的確定法 37
1.7.4 解析微分方程的解的存在性的證明 38
1.7.5 關(guān)于線性微分方程的一件往意事項(xiàng) 42
1.7.6 關(guān)于非解析微分方程的一個(gè)附注 42
1.7.7 關(guān)于臨界初始數(shù)據(jù)的幾點(diǎn)注記特征 43
第1章 附錄I關(guān)于極小曲面的支持函數(shù)的Laplace微分方程 45
第1章 附錄11-階微分方程組和高階微分方程組 46
1".1 啟發(fā)性的話 46
1".2 兩個(gè)一階偏微分方程所成的組和一個(gè)二階微分方程等價(jià)的條件 46
第2章 一階偏微分方程的一般理論 49
2.1 兩個(gè)自變量的擬線性微分方程的幾何理論 49
2.1.1 特征曲線 49
2.1.2 韌值問(wèn)題 50
2.1.3 例 52
2.2 n個(gè)自變量的擬線性微分方程 54
2.3 兩個(gè)自變量的一般微分方程 59
2.3.1 特征曲線和焦錢.Monge錐 59
2.3.2 初值問(wèn)題的解 62
2.3.3 特征作為分支元素.補(bǔ)充說(shuō)明積分劈錐面焦散流形 64
2.4 完全積分 65
2.5 焦線和Monge方程 66
2.6 例 68
2.6.1 直光線的微分方程.(grad u)2=1 68
2.6.2 方程F(ux，uy)=0 70
2.6.3 Clairaut微分方程 72
2.6.4 管狀曲面的微分方程 73
2.6.5 齊性關(guān)系式 74
2.7 n個(gè)自變量的一般微分方程 75
2.8 完全積分及Hamilton-Jacobi理論 80
2.8.1 包絡(luò)和特征曲線的造法 80
2.8.2 特征微分方程的典范形式 82
2.8.3 Haamilton-Jacobi理論 83
2.8.4 例.二體問(wèn)題 85
2.8.5 例.橢球面上的短程錢 87
2.9 Hamilton-Jacobi理論及變分法 88
2.9.1 典范形式的Euler微分方程 89
2.9.2 短程距離或短時(shí)距及其導(dǎo)數(shù).Hamilton-Jacobi偏微分方程 90
2.9.3 齊次被積函數(shù) 93
2.9.4 極值曲線場(chǎng).Hamilton-Jacobi微分方程 95
2.9.5 射線錐面.Huygens構(gòu)造法 98
2.9.6 短時(shí)距的表示式的Hilbert不變積分 98
2.9.7 Hamilton-Jacobi定理 99
2.10 典范變換和應(yīng)用 100
2.10.1 典范變換 100
2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新證明 101
2.10.3 常數(shù)的變易(典范擾動(dòng)理論) 102
第2章 附錄I 103
2'.1 特征流形的進(jìn)一步討論 103
2'.1.1 關(guān)于在n維空間中求導(dǎo)的一些注釋 103
2'.1.2 初值問(wèn)題.特征流形 105
2'.2 具有相同主要部分的擬線性微分方程組理論的新推演 109
2'.3 Haar的唯一性的證明 114
第2章 附景H守恒定理的理論 116
第3章 高階微分方程 121
3.1 兩個(gè)自變量的二階線性和擬線性微分算子的標(biāo)準(zhǔn)形式 121
3.1.1 橢圓型、雙曲型和拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式.混合型 121
3.1.2 例 126
3.1.3 兩個(gè)自變量的二階擬錢性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 128
3.1.4 例.極小曲面 131
3.1.5 兩個(gè)一階微分方程的方程組 133
3.2 一般的分類和特征 133
3.2.1 記號(hào) 134
3.2.2 兩個(gè)自變量的一階方程組.特征 134
3.2.3 n個(gè)自變量的一階方程組 136
3.2.4 高階微分方程.雙曲性 137
3.2.5 補(bǔ)注 138
3.2.6 例.Maxwell方程和Dirac方程 139
3.3 常系數(shù)線性微分方程 142
3.3.1 二階方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)形 143
3.3.2 二階方程的基本解 145
3.3.3 平面被 148
3.3.4 平面披(續(xù)).前進(jìn)披.彌散 149
3.3.5 例.電報(bào)方程.電纜中的無(wú)畸變被 152
3.3.6 柱面波和球面被 153
3.4 初值問(wèn)題.波動(dòng)方程的輻射問(wèn)題 155
3.4.1 熱傳導(dǎo)的初值問(wèn)題函數(shù)的變換 156
3.4.2 波動(dòng)方程的初值問(wèn)題 158
3.4.3 Duhamel原理非齊次方程.推遲勢(shì) 159
3.4 礦一階方程組的Duhamel原理 161
3.4.4 三維空間里的波動(dòng)方程的初值問(wèn)題.陣維法 162
3.4.5 輻射問(wèn)題 163
3.4.6 傳播現(xiàn)象和Huygens原理 164
3.5 用Fourier積分解初值問(wèn)題 166
3.5.1 Fourier積分的Cauchy方法 166
3.5.2 例 167
3.5.3 Cauchy方法的證明 169
3.6 數(shù)學(xué)物理微分方程的曲型問(wèn)題 175
3.6.1 引言 175
3.6.2 基本原理 178
3.6.3 關(guān)于"不適定的"問(wèn)題的注記 181
3.6.4 關(guān)于線性問(wèn)題的一般注記 181
第3章 附錄I 183
3'.1 Sobolev引理 183
3'.2 伴隨算子 184
3'.2.1 矩陣算子 184
3'.2.2 伴隨微分算子 186
第3章 附錄Ⅱ Holmgren的唯一性定理 188
第4章 勢(shì)論及橢圓型微分方程 190
4.1 基本概念 190
4.1.1 Laplace方程Poisson方程及有關(guān)方程 190
4.1.2 質(zhì)量分布的勢(shì) 194
4.1.3 Green公式和應(yīng)用 199
4.1.4 質(zhì)量分布的勢(shì)的導(dǎo)數(shù) 204
4.2 Poisson積分及其應(yīng)用 205
4.2.1 邊值問(wèn)題及Green函數(shù) 205
4.2.2 對(duì)于圃和球的Green函數(shù)對(duì)于球和半空間的Poisson積分 208
4.2.3 Pousson公式的一些推論 211
4.3 平均值定理及其應(yīng)用 216
4.3.1 齊快的及非齊次的平均值方程 216
4.3.2 平均值定理的逆定理 218
4.3.3 對(duì)于壁間分布的勢(shì)的PoìBBon方程 224
4.3.4 其他橢圓型微分方程的平均值定理 225
4.4 邊值問(wèn)題 228
4.4.1 準(zhǔn)備知識(shí).對(duì)邊界值和區(qū)域的連續(xù)依賴性 228
4.4.2 用Schwarz交替法求邊值問(wèn)題的解 230
4.4.3 對(duì)于具有充分光滑邊界的平面域的積分方程法 234
4.4.4 關(guān)于邊界值的注記 237
4.4 礦容量和邊界值的取得 239
4.4.5 Perron的下調(diào)和函數(shù)法 240
4.5 約化的波動(dòng)方程.散射 244
4.5.1 背景 244
4.5.2 Sommerfeld的輻射條件 246
4.5.3 散射 249
4.6 更一般的橢圓型微分方程的邊值問(wèn)題.解的唯一性 250
4.6.1 線性微分方程 251
4.6.2 非線性方程 252
4.6.3 關(guān)于Monge-Ampère微分方程的Rellich定理 254
4.6.4 極大值原理及應(yīng)用 255
4.7 Schaud凹的先驗(yàn)估計(jì)及其應(yīng)用 259
4.7.1 Schauder的估計(jì) 260
4.7.2 邊值問(wèn)題的解 263
4.7.3 強(qiáng)閘函數(shù)及其應(yīng)用 267
4.7.4 L[u]=f的解的某些性質(zhì) 269
4.7.5 關(guān)于橢圓型方程的進(jìn)一步的結(jié)果在邊界上的性態(tài) 272
4.8 Beltrami方程的解 274
4.9 關(guān)于一個(gè)特殊擬線性方程的邊值問(wèn)題.Leray和Schauder的不動(dòng)點(diǎn)法 280
4.10 用積分方程法解橢圓型微分方程 284
4.10.1 特解的構(gòu)造.基本解.參助函數(shù) 285
4.10.2 附注 288
第4章 附錄I 非線性方程289
4'.1 擾動(dòng)理論 289
4'.2 方程u=f(x，u) 290
第4章 附錄Ⅱ 橢圄型偏微分方程理論的函數(shù)論現(xiàn) 296
4".1 準(zhǔn)解析函數(shù)的定義 296
4".2 一個(gè)積分方程 298
4".3 相似性原理 299
4".4 相似性原理的應(yīng)用 302
4".5 形式幕 303
4".6 準(zhǔn)解析函數(shù)的微分與積分 305
4".7 混合型方程 307
4".8 準(zhǔn)解析函數(shù)的一般定義 309
4".9 擬共形性和一個(gè)一般表示定理 310
4".10一個(gè)非線性邊值問(wèn)題 312
4".11 Riemann映射定理的一個(gè)推廣 315
4".12 關(guān)于極小曲面的兩個(gè)定理 316
4".13 具有解析系數(shù)的方程 317
4".14 Privaloff的定理的證明 317
4".15 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的證明 318
第5章 兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程 322
5.0 引言 322
5.1 關(guān)于主要是二階的微分方程的特征 323
5.1.1 基本概念擬線性方程 323
5.1.2 積分曲面上的特征 327
5.1.3 特征線是間斷性的曲線.被前.間斷性的傳播 328
5.1.4 一般的二階微分方程 330
5.1.5 高階微分方程 332
5.1.6 特征在點(diǎn)變換下的不變性 333
5.1.7 化為一階擬線性方程組 334
5.2 一階雙曲型方程組的特征標(biāo)準(zhǔn)形式 334
5.2.1 線性、半線性及擬線性方程組 334
5.2.2 k=2的情形.用速矢端結(jié)變換法達(dá)到線性化 337
5.3 在可壓縮流體動(dòng)力學(xué)上的應(yīng)用 338
5.3.1 一維等情流 338
5.3.2 球面對(duì)稱流 340
5.3.3 定常無(wú)旋流 341
5.3.4 關(guān)于非等捕流的三個(gè)方程的組 342
5.3.5 線性化的方程 344
5.4 唯一性依賴區(qū)域 345
5.4.1 依賴區(qū)域、影響區(qū)域及決定區(qū)域 345
5.4.2 對(duì)于二階線性微分方程解的唯一性的證明 347
5.4.3 對(duì)于一階線性組的一般唯一性定理 350
5.4.4 關(guān)于擬線性組的唯一性 353
5.4.5 能量不等式 354
5.5 解的Riemann表示 354
5.5.1 韌值問(wèn)題 354
5.5.2 Riemann函數(shù) 355
5.5.3 Riemann函數(shù)的對(duì)稱性 358
5.5.4 Riemann函數(shù)及由一點(diǎn)發(fā)出的輻射.向高階問(wèn)題的推廣 359
5.5.5 例 360
5.6 用法代法解線性和半線性雙曲型的初值問(wèn)題 364
5.6.1 二階方程的解的構(gòu)造 364
5.6.2 對(duì)于一階線性及半線性組的記號(hào)和結(jié)果 366
5.6.3 解的構(gòu)造 368
5.6.4 附注.解對(duì)參數(shù)的依賴性 371
5.6.5 混合初值及邊值問(wèn)題 371
5.7 關(guān)于擬線性組的Cauchy 問(wèn)題 375
5.8 對(duì)于單個(gè)的高階雙曲型微分方程的Cauchy問(wèn)題 377
5.8.1 化為一階特征組 378
5.8.2 L間的特征表示 379
5.8.3 Gauchy問(wèn)題的解 381
5.8.4 其他解法.P.Ungar給出的一個(gè)定理 382
5.8.5 附注 383
5.9 解的間斷性.激波 384
5.9.1 廣義解.弱解 384
5.9.2 表現(xiàn)守恒定律的擬線性組的間斷性.撒波 386
第5章 附錄I 特征作為坐標(biāo)的應(yīng)用 388
5'.1 關(guān)于一般二階非線性方程的附注 388
5'.1.1 擬線性微分方程 388
5'.1.2 一般的非線性方程 391
5'.2 Monge-Ampere方程的特殊性質(zhì) 392
5'.3 利用復(fù)數(shù)域由橢圓型轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲型的情形 395
5'.4 在橢圓型情形中解的解析性 396
5'.4.1 函數(shù)論的注記 96
5'.4.2 u=f(x,y,u,p,q)的解的解析性 397
5'.4.3 關(guān)于一般微分方程F(x，y，u,p,q，r，s，t) =0的注記 400
5'.5 對(duì)于解的延拓使用復(fù)數(shù)量 400
第5章 附錄Ⅱ 瞬態(tài)問(wèn)題與Heaviside運(yùn)算微積 402
5".1 用積分表示解瞬態(tài)問(wèn)題 402
5".1 顯例.被動(dòng)方程 402
5".1.2 問(wèn)題的一般性提法 404
5".1.3 Duhamel積分 405
5".1.4 實(shí)驗(yàn)解疊加法 408
5".2 Heaviside算子法 409
5".2.1 最筒單的算子 410
5".2.2 算于實(shí)例及應(yīng)用 412
5".2.3 應(yīng)用于傳熱問(wèn)題 416
5".2.4 波動(dòng)方程 418
5".2.5 運(yùn)算微積的理論根據(jù)其他一些算子的解釋 419
5".3 瞬態(tài)問(wèn)題的一般理論 424
5".3.1 Laplace變換 424
5".3.2 用Laplace變換解瞬態(tài)問(wèn)題 426
5".3.3 舉例.波動(dòng)方程與電報(bào)方程 431
第6章 多于兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程 436
6.0 引言 436
第一部分 解的唯一性、構(gòu)造、幾何性質(zhì) 437
6.1 二階微分方程.特征的幾何性質(zhì) 437
6.1.1 二階擬錢性微分方程 437
6.1.2 線性微分方程 440
6.1.3 射線或雙特征 441
6.1.4 特征曲面作為波前 443
6.1.5 特征的不變性 444
6.1.6 射線錐面.法錐面.射線劈錐面 445
6.1.7 與Riemann尺度的聯(lián)系 446
6.1.8 對(duì)射變換 448
6.1.9 Huygens的波前構(gòu)圖法 449
6.1.10 類空間曲面.類時(shí)間方向 450
6.2 二階方程特征的作用 450
6.2.1 二階間斷性 451
6.2.2 沿特征曲面的微分方程 452
6.2.3 間斷性沿射線的傳播 453
6.2.4 例證.三維空間里波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的解 454
6.3 高階算子的特征流形的幾何性質(zhì) 456
6.3.1 記號(hào) 456
6.3.2 特征曲面.特征形.特征矩陣 458
6.3.3 特征條件在時(shí)空中的解釋.法錐面與法曲面.特征零化矢量與本征值 459
6.3.4 特征曲面——波前的構(gòu)造射線、射線錐面、射線劈錐面 461
6.3.5 波前與Huygens的構(gòu)圈法.射線幽面與法曲面 463
6.3.6 不變性 465
6.3.7 雙曲性.類空間流形、類時(shí)間方向 466
6.3.8 對(duì)稱雙曲型算子 468
6.3.9 高階對(duì)稱雙曲型方程 469
6.3.10 多重特征曲面葉和可約化性 470
6.3.11 關(guān)于雙特征方向的引理 471
6.3 例.流體動(dòng)力學(xué)、晶體光學(xué)、磁流體動(dòng)力學(xué) 473
6.3'.1 引言 473
6.3'.2 流體動(dòng)力學(xué)微分方程組 473
6.3'.3 晶體光學(xué) 476
6.3'.4法曲面和射線曲面的形狀 478
6.3'.5 晶體光學(xué)的Cauchy問(wèn)題 481
6.3'.6 磁流體動(dòng)力學(xué) 483
6.4 間斷性的傳播和Cauchy問(wèn)題 487
6.4.1 引言 487
6.4.2 一階方程組的一階導(dǎo)數(shù)的間斷性輸動(dòng)方程 487
6.4.3 初始值的間斷性.理想函數(shù)的引入.前進(jìn)波 489
6.4.4 一階方程組的間斷性的傳播 492
6.4.5 重?cái)?shù)不變的特征 494
6.4.5' 間斷性沿高于一維的流形而傳播的例子.錐形折射 495
6.4.6 初始間斷的分解和Cauchy問(wèn)題的解 496
6.4.6' 特征曲面作為被前 498
6.4.7 用收斂的波展開(kāi)式解Cauchy問(wèn)題 498
6.4.8 二階和高階的方程組 499
6.4.9 補(bǔ)注.弱解.激波 501
6.5 振蕩的初始值.解的漸近展開(kāi)式.向幾何光學(xué)的過(guò)渡 501
6.5.1 前注.高階前進(jìn)披 501
6.5.2 漸近解的掏造 502
6.5.3 幾何光學(xué) 505
6.6 初值問(wèn)題的唯一性定理和依賴區(qū)域的例子 507
6.6.1 波動(dòng)方程 507
6.6.2 微分方程 509
6.6.3 真空中的Maxwell方程 510
6.7 雙曲型問(wèn)題的依賴區(qū)域 512
6.7.1 引言 512
6.7.2 依賴區(qū)域的描述 513
6.8 能量積分和一階線性對(duì)稱雙曲型方程組的唯一性定理 514
6.8.1 能量積分和Cauchy問(wèn)題的唯一性 514
6.8.2 一階的和高階的能量積分 516
6.8.3 混合初邊值問(wèn)題的能量不等式 517
6.8.4 對(duì)于單個(gè)二階方程的能量積分 520
6.9 高階方程的能量估計(jì) 522
6.9.1 引言 522
6.9.2 關(guān)于高階雙曲型算子的解的能量恒等式和不等式.Leray與Garding的方法 522
6.9.3 其他方法 525
6.10 存在定理 527
6.10.1 引言 527
6.10.2 存在定理 528
6.10.3 關(guān)于初始值性質(zhì)的持久性和關(guān)于相應(yīng)的半群的一些在記.Huygens小原理 530
6.10.4 聚焦.可微性非持久的例子 532
6.10.5 關(guān)于擬線性方程組的注記 533
6.10.6 關(guān)于高階方程或非對(duì)稱方程組的注記 533
第二部分 解的表示 534
6.11 引言 534
6.11.1 概述.記號(hào) 534
6.11.2 一些積分公式.畫數(shù)的平面被分解式 535
6.12 常系數(shù)工階方程 539
6.12.1 Cauchy問(wèn)題 539
6.12.2 波動(dòng)方程的解的構(gòu)造 540
6.12.3 降維法 543
6.12.4解的進(jìn)一步的討論Huygens原理 544
6.12.5 非齊次方程Duhamel積分 547
6.12.6 一般二階線性方程的Cauchy問(wèn)題 548
6.12.7 輻射問(wèn)題 550
6.13 球面平均法.波動(dòng)方程與Darboux方程 553
6.13.1 關(guān)于平均值的Darboux微分方程 553
6.13.2 與波動(dòng)方程的聯(lián)系 555
6.13.3 波動(dòng)方程的輻射問(wèn)題 557
6.13.4 廣義前進(jìn)球面被 558
6.13' 用球面平均法解彈性波的初值問(wèn)題 560
6.14 平面平均值法.對(duì)于一般常系數(shù)雙曲型方程的應(yīng)用 564
6.14.1 一般方法 564
6.14.2 在解波動(dòng)方程上的應(yīng)用 567
6.14' 在晶體光學(xué)方程和其他四階方程上的應(yīng)用 569
6.14'.1 Cauchy問(wèn)題的解 569
6.14'.2 解的進(jìn)一步的討論.依賴區(qū)域.隙窩 573
6.15 Cauchy問(wèn)題的解作為數(shù)據(jù)的錢性泛函基本解 576
6.15.1 說(shuō)明.記號(hào) 576
6.15.2 借助于6函數(shù)的分解來(lái)構(gòu)造輻射函數(shù) 579
6.15.3 輻射矩陣的正則性 581
6.15 礦廣義Huygen.s原理 582
6.15.4 例于.特殊的常系數(shù)線性方程組晾窩定理 583
6.15.5 例子.波動(dòng)方程 584
6.15.6 例子關(guān)于單個(gè)二階方程的Hadamard的理論 587
6.15.7 進(jìn)一步的例子.兩個(gè)自變量.注記 590
6.16 超雙曲型微分方程和一般常系數(shù)二階方程.590
6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理 590
6.16.2 平均值定理的別證 593
6.16.3 在波動(dòng)方程上的應(yīng)用 594
6.16.4 波動(dòng)方程的特征初值問(wèn)題的解 594
6.16.5 其他應(yīng)用.關(guān)于共焦橢球族的平均值定理 596
6.17 對(duì)于非類空間初始流形的初值問(wèn)題 597
6.17.1 由中心在一個(gè)平面上的球上的平均值確定的函數(shù) 598
6.17.2 在初值問(wèn)題上的應(yīng)用 599
6.18 關(guān)于前進(jìn)波的注記，信號(hào)的傳播和Huygens原理 603
6.18.1 無(wú)畸割地波 603
6.18.2 球面波 605
6.18.3 輻射與Huygens原理 606
第6章 附錄廣義函數(shù)——分布 608
6'.1 基本定義和概念 608
6'.1.1 引言 608
6'.1.2 理想元 608
6'.1.3 記號(hào)和定義 609
6'.1.4 疊積分 610
6'.1.5 線性泛畫與算子雙一次型 610
6'.1.6 泛畫的連續(xù)性.試探函數(shù)的支集 611
6'.1.7 關(guān)于T連續(xù)性的引理 612
6'.1.8 幾個(gè)輔助函數(shù) 613
6'.1.9 例 614
6'.2 廣義函數(shù) 614
6'.2.1 引言 614
6'.2.2 用錢性微分算子去定義 615
6'.2.3 用弱極限去定義 617
6'.2.4 用錢性泛函去定義 618
6'.2.5 等價(jià)性.泛函的表示 618
6'.2.6 幾個(gè)結(jié)論 620
6'.2.7 例子.ó函數(shù) 620
6'.2.8 廣義函數(shù)與通常函數(shù)的等同 622
6'.2.9 定積分.有限部分 623
6'.3 廣義函數(shù)的演算 625
6'.3.1 線性運(yùn)算 626
6'.3.2 自變量的代換 626
6'.3.3 例子.ó函數(shù)的變換 627
6'.3.4 廣義函數(shù)的相乘與槽積 628
6'.4 補(bǔ)注.理論的修飾 629
6'.4.1 引言 629
6'.4.2 試探畫數(shù)的它種空間空間S.Fourier變換 629
6'.4.3 周期函數(shù) 631
6'.4.4 廣義函數(shù)與H詛bert空間.負(fù)范數(shù).強(qiáng)定義 632
6'.4.5 關(guān)于其他種類的廣義函數(shù)的注記 633
參考文獻(xiàn) 634
英漢名詞對(duì)照表 656